Iuwashplus.or.id – Deret aritmatika mungkin sudah tidak terdengar asing bagi sebagian orang, karena istilah dalam dunia matematika ini sudah pernah diajarkan pada saat di bangku Sekolah Menengah Pertama (SMP). Namun, ada juga beberapa orang yang belum terlalu paham mengenai hal ini.
Istilah ini memiliki ikatan yang erat dengan barisan aritmatika yang memiliki arti barisan bilangan dengan selisih antara suku-suku yang berurutan tetap. Untuk mengetahui tentang pengertian, rumus, dan cara mengerjakan soal matematika ini, Anda bisa menyimak penjelasan di bawah ini dengan baik.
Contents
Apa Itu Deret Aritmatika?
Sebelum membahas tentang rumusnya, ketahui terlebih dahulu apa yang dimaksud dengan istilah ini. Deret aritmatika adalah jumlah dari keseluruhan suku yang terdapat dalam barisan aritmatika. Sistem perhitungan ini pertama kali ditemukan oleh pakar matematika yang bernama Carl Friedrich Gauss.
Carl Friedrich Gauss tidak hanya dikenal sebagai pakar matematika asal Jerman saja, tapi juga dikenal sebagai pakar IPA yang sangat andal. Selain sering disebut sebagai jumlah suku-suku di dalam barisan aritmatika, sistem ini juga dapat diartikan sebagai nilai suku barisan yang diperoleh dari cara khusus.
Sebab, nilai seluruh suku dari barisan ini dapat diperoleh dari penjumlahan maupun pengurangan dari suku sebelumnya dengan suatu bilangan tertentu. Jadi, jika barisan aritmatika adalah U1, U2, dan U3, maka deret barisan aritmatika dari data tersebut sama dengan U1 + U2 + U3.
Sistem perhitungan ini dapat digunakan untuk menghitung jumlah bilangan bulat dari 1 sampai 100 dengan cara yang lebih mudah. Pasalnya, Anda hanya perlu mengalikan n/2 kedua bilangan, kemudian dijumlahkan dengan masing-masing nilai dari pasangan n+1 tersebut.
“Matematika adalah bahasa yang tak pernah berbohong, tidak pernah mengkhianati kita, dan selalu memberikan jawaban yang pasti.” – Albert Einstein
Rumus Deret Aritmatika
Setelah memahami tentang apa yang dimaksud dengan istilah ini, sekarang Anda perlu memahami bagaimana rumusnya yang benar. Sebab, rumus dari sistem perhitungan ini berbeda dengan rumus matematika yang lainnya. Berikut adalah rumus deret aritmatika yang baik dan benar:
Sn = 1/2n (2a + (n – 1) b)
Sn = Deret barisan aritmatika
a = Suku pertama
b = Beda
n = Jumlah suku
Karena sistem perhitungan ini disimbolkan sebagai Sn, jadi orang-orang perlu mencari nilai n-nya terlebih dahulu. Dalam hal ini, Anda bisa mengalikan angka ½ dengan jumlah suku yang ada dalam barisan aritmatika tersebut. Meski terkesan mudah, tapi cara ini bisa terasa sulit bagi sebagian orang.
Untuk itu, Anda juga perlu mengetahui tentang bagaimana cara menghitung beda dan suku tengah pada sistem perhitungan ini, yaitu:
- Beda = Un – Un-1
- Suku tengah (Ut) = (a + Un) / 2
Deret Aritmatika Bedanya Apa dengan Barisan Aritmatika?
Penting untuk selalu diingat bahwa deret dalam barisan aritmatika berbeda dengan barisan aritmatika itu sendiri. Kedua istilah ini tidak hanya memiliki perbedaan pada pengertiannya saja, tapi juga pada rumus perhitungannya. Untuk lebih jelasnya, berikut kami bagikan informasi terkait perbedaannya:
1. Barisan Aritmatika
Istilah dalam dunia matematika ini dapat diartikan sebagai barisan bilangan yang menggunakan pola tetap di dalamnya. Jadi, pola yang digunakan dalam barisan matematika ini akan dibentuk berdasarkan operasi penjumlahan maupun pengurangan yang terjadi.
Nantinya, setiap urutan suku yang ada dapat memiliki selisih yang sama, dan selisih inilah yang sering disebut dengan istilah beda atau b. Rumus barisan aritmatika berbeda dengan rumus deret barisan aritmatika dan antara lainnya adalah:
Un = U1 + (n – 1)b atau Un = a + (n – 1)b
2. Deret Aritmatika
Lebih sederhana dibanding barisan aritmatika, untuk sistem perhitungan ini dapat dilakukan hanya dengan menjumlahkan barisan aritmatika yang ada sampai ke suku yang telah disebutkan muncul. Maka dari itu, istilah ini sering disebut sebagai jumlah suku ke-n yang ada di dalam barisan aritmatika.
Sementara untuk rumusnya sudah kami sebutkan di beberapa paragraf sebelumnya. Hanya dengan melihat dari kedua rumus tersebut saja, Anda pasti sudah bisa tahu bahwa kedua hal ini saling berbeda. Jadi, jangan sampai keliru lagi ketika menyelesaikan soal matematika yang berkaitan dengan hal ini.
Contoh Soal Deret Aritmatika
Sebagian besar orang akan lebih mudah memahami sesuatu ketika diberi contoh soal dan pembahasannya lengkap, begitu pun juga ketika seseorang sedang mempelajari tentang deret barisan aritmatika. Berikut adalah beberapa contoh soal yang dapat dipelajari secara lebih lanjut:
1. Contoh Soal Pertama
Diketahui barisan aritmatika 27, 24, 21, 18. Hitunglah jumlah 20 suku pertama dari barisan aritmatika tersebut!
a = 27
b = U2 – U1 = 24 – 27 = -3
S20 = 1/2n (2a + (n – 1) b)
S20 = 1/2 x 20 (2 x 27 (20 – 1) (-3))
S20 = 20/2 (2 x 27 (20 – 1) (-3))
S20 = 10 (54 + 19 x (-3))
S20 = 10 (54 + 57)
S20 = 10 (-3)
S20 = -30
Maka jumlah 20 suku pertama dari barisan aritmatika tersebut adalah -30 dan sudah dibuktikan dalam rumus di atas.
2. Contoh Soal Kedua
Diketahui sebuat deret aritmatika memiliki 8 jumlah suku dengan suku pertama adalah 5 dan masing-masing suku selanjutnya memiliki beda yang sebesar 4. Hitung deret barisan aritmatika dari keseluruhan suku tersebut!
a = 5
b = 4
Sn = 1/2n (2a + (n – 1) b)
Sn = ½ x 8 (2 x 5 + (8 – 1) 4)
Sn = 8/2 (10 + 28)
Sn = 4 x 38
Sn = 152
3. Contoh Soal Ketiga
Ada sebuah gedung yang di dalamnya terdapat 10 baris kursi dengan pola yang telah ditentukan sebelumnya. Barisan kursi pertama berjumlah 25 buah dan di barisan kedua hanya sebanyak 6 buah saja. Tambahan kursi ini berlaku untuk baris-baris selanjutnya juga.
Tak lama setelah itu, semua kursi mulai terisi penuh dan jika ¼ pegawai dari gedung tersebut berjenis kelamin perempuan, maka berapa jumlah pegawai laki-laki di perusahaan itu?
n = 10
a = 25
b = 6
Sn = 1/2n (2a + (n – 1) b)
Sn = ½ x 10 (2 x 25 + (10 – 1) 6)
Sn = 10/2 (50 + 54)
Sn = 5 x 104
Sn = 520
Setelah mengetahui berapa jumlah seluruh pegawai yang ada di gedung tersebut, sekarang hitung jumlah pegawai laki-lakinya dengan menggunakan cara:
Pegawai laki-laki = ¾ x 520
Pegawai laki-laki = 390
Jadi, dapat dipastikan bahwa perusahaan tersebut memiliki jumlah pegawai laki-laki yang sebanyak 390 orang.
4. Contoh Soal Keempat
Ada sebuah deret barisan aritmatika yang memiliki suku 5, 15, 25, 35, dan seterusnya. Dengan melihat data tersebut, berapakah jumlah 10 suku pertamanya?
n = 10
a = 5
b = 25 – 15 = 10
Sn = 1/2a (2a + (n – 1) b)
S10 = ½ x 5 (2 x 5 + (10 – 1) 10)
S10 = 5/2 (10 + 90)
S10 = 2,5 (100)
S10 = 250
Maka dapat dipastikan bahwa jumlah 10 suku pertama dari barisan aritmatika tersebut adalah 250.
5. Contoh Soal Kelima
Hitung berapa jumlah 20 suku pertama dari deret 3 + 7 + 11 + … dengan menggunakan rumus yang tepat!
Untuk mencari tahu berapa jumlah 20 suku pertama dari deret barisan aritmatika tersebut, Anda perlu mencari tahu jumlah pembedanya terlebih dahulu, yaitu:
b = U2 – U1
b = 7 – 3
b = 4
Setelah itu, cari jumlah 20 suku pertamanya dengan menggunakan rumus berikut ini:
Sn = 1/2n (2a + (n – 1) b)
S20= ½ x 20 (2 x 3 + (20 – 1) 4)
S20 = 20/2 (6 + 76)
S20 = 10 x 82
S20 = 820
Dengan begitu, dapat disimpulkan bahwa jumlah 20 suku pertama dari barisan aritmatika yang ada di atas adalah 820.
Manfaat Deret dan Barisan Aritmatika dalam Kehidupan Sehari-hari
Tak banyak orang yang tahu bahwa sebenarnya sistem perhitungan matematika satu ini memiliki manfaat yang cukup penting dalam kehidupan sehari-hari manusia. Mulai dari untuk menghitung jumlah korek api yang akan dijual hingga menentukan jumlah penari adalah beberapa manfaat yang dimaksud.
Untuk lebih memahami tentang sistem perhitungan ini yang sangat bermanfaat untuk kehidupan sehari-hari sebagian orang, berikut kami berikan lagi contoh soal deret dan barisan aritmatika dalam kehidupan sehari-hari:
1. Aritmatika untuk Bisnis Kuliner
Pak Abdul baru saja membuka warung pecel ayam, dan di hari pertamanya beliau menyiapkan 20 ekor ayam untuk dijual. Sedangkan di hari kedua, pak Abdul menyediakan ayam sebanyak 24 ekor. Hal ini berbeda dengan jumlah ayam di hari ketiga yang sebanyak 28 ekor.
Selama seminggu warung pecel ayam ini dibuka, pak Abdul menambahkan jumlah ayam dengan penambahan tetap. Lantas, berapakah jumlah ekor ayam yang disediakan oleh pak Abdul pada hari kedelapan?
n = 8
a = 20
b = 4
Sn = 1/2n (2a + (n – 1) b)
Sn = ½ x 8 (2 x 20 + (8 – 1) 4)
Sn = 4 (40 + 28)
Sn = 4 x 68
Sn = 272
Dengan perkembangan bisnis yang terus meningkat, pak Abdul berhasil menjual 272 ekor ayam di hari kedelapan warung tersebut dibuka.
2. Aritmatika Tabungan
Anggi ingin menabung di bank dengan selisih kenaikan nominal yang tetap. Jika di bulan pertama Anggi menabung Rp100.000,-, di hari kedua dia menabung sebanyak Rp110.000,-, dan di hari ketiga dia menabung sebanyak Rp120.000,-, maka berapa tabungannya selama 2 tahun ke depan?
n = 24
a = Rp100.000,-
b = Rp10.000,-
Sn = 1/2n (2a + (n – 1) b)
S24 = ½ x 24 (2 x 100.000 + (24 – 1) 10.000)
S24 = 12 (200.000 + 230.000)
S24 = 12 x 430.000
S24 = Rp5.160.000,-
Dua tahun setelah Anggi menabung di bank tersebut, dia dapat mengumpulkan dana sebanyak Rp5.160.000,-. Tentu ini dapat menjadi tabungan yang menjanjikan bagi masa depan Anggi.
Ada begitu banyak manfaat yang bisa didapatkan oleh orang-orang ketika mempelajari tentang deret aritmatika. Sebab, sistem perhitungan ini juga sering dibutuhkan untuk menghitung kebutuhan sehari-hari.
Apalagi jika Anda sedang membuka usaha tertentu dan masih merasa awam dengan dunia bisnis. Anda harus mempelajari tentang hal ini dulu, agar bisa lebih memperhitungkan laba di masa depan.
Jangan sampai ketinggalan informasi terkini seputar teknologi dan tutorial terbaru dari Iuwashplus.or.id:
